每隔一段工夫，我们就会看到一些关于人工智能（AI）的爆炸性旧事，人工智能是将我们的思想方式自动化的学科。去年，有旧事称“人类不再需求证明数学定理了”，这指的是2019年谷歌的一篇关于运用人工智能证明数学定理的论文。这条旧事意味着人工智能最终将取代数学家。
人工智能取代数学家的想法源于对逻辑的研讨，这可以追溯到2500年前的亚里士多德，他以为直觉和逻辑是获得知识的两个方面。但是，在计算机出现之前，逻辑由于其严谨性和确定性而比直觉更受喜爱，这使得逻辑推理得以正式研讨并最终完成自动化。计算机是2000多年来逻辑推理发展到极致的结果，这最终完成了无需人类思想的自动逻辑推理。但是，理想证明，逻辑推理及其自动化是不够的，因此，直觉对数学来说是不可或缺的。矛盾的是，在我们了解了逻辑推理的极限之后，我们发明了一种新工具——计算机，来应用我们的直觉。从亚里士多德学派试图让数学变得毫有意义，以致于可以由机器来完成，到柏拉图学派想知道机器能否能像我们一样真正了解数学的意义，历史阅历了一个轮回。
在人工智能的许多研讨范畴中，“人工智能取代数学家”实践上是计算机之前的人工智能，它有一个特殊的地位，由于它的失败导致了计算机的发明。回顾古代人工智能如何取代数学家能够会协助我们找到最后一块拼图，这可以运用于任何方式的知识发展，包括人工智能本身。在人们担心恶意的人工智能会反射出我们的阴暗面之际，看看人工智能能否模拟人类当中最优秀的人：伟大的数学家、迷信家和思想家，或许是件令人高兴的事。
如何杀死一个机器人？
在《星际迷航》的一集中，柯克船长（Captain Kirk）遇到了一群流氓机器人，他们击落了宇宙飞船，并计划毁灭全人类，由于他们逻辑上以为人类形成了宇宙的一切成绩。为了打败如此弱小的敌人，柯克计划运用“狂野而非感性的逻辑”作为弱小的武器。最后，机器人的首领诺曼，被其中最疯狂、最不合理的逻辑——说谎者的悖论所毁灭。
柯克说马德说的都是谎话，马德对诺曼说，“细心听着，诺曼。我……在扯谎。”为了处理这个悖论，诺曼抽着烟，自毁了。这样我们就看到了一个机器人的死亡。说谎者的悖论可以如下图所示：
悖论来源于“这句话”指的是“这句话”所属的整个句子。假如我们假设这个句子说的是真的，那么这个句子就是假的，由于这就是它说的。这与我们的假设相矛盾。另一方面，假如这个命题说的是假的，那么它说的反面一定是真的，也就是说这个命题是真的，这又是一个矛盾。
悖论是逻辑最大的敌人。看看它是如何导致诺曼死亡的。理想上，假如诺曼思索关于本人的成绩，他的逻辑大脑会遇到一种自我指向悖论，相似于说谎者的悖论。诺曼隐喻地反映了数学家如何面对自我参照和随之而来的悖论。
亚里士多德：逻辑的力气
亚里士多德，希腊哲学家和博物学家（公元前384-322），是逻辑学之父。他研讨了我们如何以正式的方式停止感性思索。他以为逻辑推理独立于能够运用的上下文。例如，
- 人皆有一死。
- 苏格拉底是一个人。
- 因此，苏格拉底终有一死
这是三段论的一个运用，一切A都是B，一切C都是A，因此一切C都是B ，其中A，B和C是变量，可以代表理想中的任何东西。假设前提的真实性，逻辑结果的真实性应该是确定的。
但是，假如不堕入有限回归，就没有办法证明前提的真实性。因此，亚里士多德以为“直觉给我们公理”，不言而喻的真理作为起始前提。其他的真理要么是归纳得来的，要么是归纳得来的，要么是逻辑得来的。他启示了一代又一代的思想家将头脑中的逻辑推理转化为用铅笔和纸停止符号操作，并最终转化为运用计算机停止计算。
欧几里得：逻辑的论证
柏拉图学院的大门上方有一段著名的碑文：
任何不懂几何学的人都不要进入这里。
亚里士多德的先生能够会发现，在理想生活的辩论中，逻辑是有效的，但博得辩论并不一定等于坚持真理。假如有不言自明的真理被称为公理，被直觉所选择和认同，从直觉中可以根据逻辑推理推导出更多的真理呢？欧几里得证明了已知的几何知识可以用亚里士多德的逻辑系统地解释在他的《几何本来》中。他不只建立了几何学科，而且论证了从逻辑推理发展知识的框架。
一方面，欧几里得成功地证明了逻辑可以用来证明当时一切已知的几何真理。另一方面，经过对之前发现的一切真理的逻辑组织，他也反映了直觉的光辉，而直觉的结果是“合乎逻辑的”。
这种数学发展的逻辑框架后来遇到了妨碍。首先，这些公理并不总是与理想相符。例如，人们发现，欧几里得几何的公理不适用于宇宙尺度上的物理空间，根据阿尔伯特·爱因斯坦的广义相对论，在宇宙尺度上，空间被引力弯曲。其次，数学家们会发现本人被自我参照扼杀了。
莱布尼茨：逻辑即计算
比亚里士多德和欧几里得晚两千年的德国学者戈特弗里德·威廉·莱布尼茨是亚里士多德逻辑的狂热粉丝，他与牛顿共同发明了微积分。在莱布尼茨的时代，经过在代数表达式中用符号代替数字来计算数学的方法曾经成熟。我们不再需求列出一个变化量的每一个数字，例如移动物体的间隔，而可以用代数表达式来表示。
莱布尼茨思索了从不同间隔求速度和或从不同速度求间隔的成绩。为了计算恣意时辰的速度，我们需求用无量小的间隔变化量除以无量小的工夫变化量。间隔也是一样，我们需求累积每一个无量小的间隔变化量用速度乘以无量小的工夫变化量。第一种计算称为微分，第二种计算称为积分。在任何一种状况下，我们都需求运用一种叫做极限过程的方法来确定无量小量恣意接近于零（但不是零）时的准确表达式。
下面两个方程的左边分别是微分和积分的莱布尼茨符号。有限小的概念（即某物几乎为零，但不是零），后来被一个更严厉的定义所取代。莱布尼茨展现了一个很好的例子，阐明直觉如何作为一个探求者去拓展知识的前沿。
莱布尼茨发现，他的微分符号和积分符号不同于其他代表恣意量的符号，由于它们有特殊的意义，发挥了弱小的作用。这一发现使他产生了一组符号或“字母表”的想法，以及由此产生的一种言语，来代表亚里士多德的逻辑。他想象用新的逻辑演算把逻辑推理变成计算。
布尔：逻辑作为代数
乔治·布尔，一位英国数学家，他发现逻辑可以被表示为一种叫做布尔代数的特殊代数。他用代数变量代替了亚里士多德用来表示逻辑命题的变量。布尔变量只接受0和1作为其值，1代表TRUE，0代表FALSE。异样，代数运算“加法”和“乘法”分别代表逻辑上的“或”和“与”。布尔变量x指的是介词或类，我们有x²=x，x+1=1。以“人皆有一死”为例，假如用x代表一切的人，用y代表终有一死，则下面这句话可以表示为xy=x。布尔代数使逻辑成为数学的一个分支，向完成莱布尼茨的“逻辑即计算”的梦想迈进了一步。明天，布尔代数从根本上支撑着古代计算机的运转。
弗雷格：地基上的裂痕
德国数学家戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege，1848-1925）没有把逻辑作为数学的一个分支，而是选择了相反的方法，把数学变成了逻辑的不同分支，他以为这比数学更基本。因此，他用一种复杂的符号言语来定义逻辑而不需求数学。有了弗雷格的符号，数学家在他那个时代运用的一切逻辑推理都可以用符号串来表示，没有歧义。例如，下面的推理：
一切的狗都是哺乳动物
因此，狗的尾巴就是哺乳动物的尾巴
可以表示为：
在古代一阶逻辑中，D、M、T分别表示“是一只狗”、“是一只哺乳动物”、“是……的尾巴”。读者会发现推理的符号版本更难了解。关键在于，经过将任何逻辑推理表示为符号言语中的语法操作，可以经过某种“机制”来检查其有效性。弗雷格从字面上建立了元数学，其中数学证明本身可以研讨。
弗雷格试图重建算术，或者说数论，他说：
- 为了避免自我援用，公理基于逻辑和集合的概念。
- 在从公理中定义数字之前，不触及数字。
弗雷格以为集合的概念比数的概念更分明，数字被定义为集合的某一性质。你能够会想说，这个称为集合的“基数”的特定属性就是集合中成员的“数量”。但是请记住，“数字”还没有被定义。我们能说的是，假如你能找到两个集合中的元素之间的逐一对应，那么它们具有相反的基数。你从之前的阅历中学到的关于数字的观点不能在弗雷格的数论中计算。
弗雷格的计划是，在证明了一切已知的数论的真理都可以从他的公理和逻辑规则中派生出来之后，一切数学分支都可以在逻辑基础上重新建立起来。
在遭到致命打击之前，他的野心几乎成功了。说谎者的悖论杀死了诺曼。异样，一个自我参照的悖论终结了弗雷格的数学抱负。伯特兰·罗素是英国的数学家，在弗雷格即将出版他最后一本也是最伟大的逻辑著作之前，他给弗雷格写了一封信。在信中，罗素提出了一个用弗雷格本人的符号言语表达的场景：
假如一个集合是不属于它本人的一切集合的集合，那么这个集合能否属于它本人？
这种状况被证明是一种悖论。任何一个答案都会导致矛盾。弗雷格以为这一悖论是他计划建立的数学基础上的一个裂痕。弗雷格总想摆脱他那不牢靠的直觉，这使他感到震惊，他绝望了，放弃了他的计划。 |
